[科普] 如何理解量子糾纏

「量子糾纏」很深奧難明？那只是因為你沒有看過他的數式而已。

要正確理解量子糾纏，你必須要明白其數學上的含意，而這數學其實不難，難的是你無法拋開文科的包伏。

2 = 1 + 1

2 = 1 + 1

上面的數式必須要這樣寫。2 = 1 + 1。

2是由1+1組成的。就是字面上的意見，2這一個單元是由兩個1的組件所構成的。

如果你連這一個道理都無辦法理解的話可以按上一頁，因為你沒有足夠的思維能力理解文字和理解這個世界，但你要做的不是放棄思考，而是認真思考自己為甚麼缺乏思維能力。

沒有問題的話我繼續。

2 = 1 + 1 是在同一個維度底下執行的加法

例如說 2個梨 = 1個梨 + 1個梨，這是在梨的維度底下執行的加法。

你可以在不同的維度之間同時執行加法，例如 1個梨1個橙 = 1個梨 + 1個橙。一切都是字面上的意思，這裡沒有魔法。這裡1個梨1個橙成為了一個單元。因為其為兩個不同的維度，我們必須如此表達：

[1個梨] = [1個梨] + [0個橙]
[1個橙]   [0個梨]   [1個橙]

記住梨的維度寫在上面，橙的維度寫在下面，然後我們可以寫得更簡潔：

(梨) : [1] = [1] + [0]
(橙)   [1]   [0]   [1]

1個箱裏面裝了1個梨和1個橙，這個箱就是：

箱 = [1]
     [1]

1個箱裏面有可能裝了1個梨，也有可能裝了1個橙。假如說裝了梨和裝了橙的機率是一樣的話，即是50%機率打開箱會見到梨、50%機率打開箱會見到橙，這個箱就是：

箱 = 0.707*[1] + 0.707*[0]
           [0]         [1]

為甚麼是½的平方根0.707呢？我現在就跟你講。

量子運算超入門

首先為了方便，我們將如是寫出箱：

梨 = |梨>
橙 = |橙>

|箱> = 0.707|梨> + 0.707|橙>
或者
<箱| = 0.707<梨| + 0.707<橙|

箭咀是用來表達相乘的。寫成這樣的文字可以相乘。

<X||Y>

文字相乘的規則就是箭咀包裹的範圍內左右完全相同的時候等如1，否則一律歸零。而數字那邊就照常相乘。

<梨||梨> = 1
<橙||橙> = 1
<梨||橙> = 0
<橙||梨> = 0

寫成|X><Y|的文字暫時不需要理會，反正講了你也不明白。

同一件東西相乘的時候可以得出每種可能性各自的機率

如是者

<箱||箱>

= ( 0.707<梨| ) * ( 0.707|梨> )
  (+0.707<橙| )   (+0.707|橙> )

= 0.707*0.707<梨||梨>
+ 0.707*0.707<梨||橙>
+ 0.707*0.707<橙||梨>
+ 0.707*0.707<橙||橙>

= 0.5<梨||梨>
+ 0.5<梨||橙>
+ 0.5<橙||梨>
+ 0.5<橙||橙>

= 0.5<梨||梨> + 0.5<橙||橙>

最後這一句就是標示了50%機率得到梨，同時50%機率得到橙。½的平方根0.707的原因就是為了確保在這個時候能夠取得正確的機率數值。

量子力學的觀測需要先有一個期望

就是說，你現在問「我想知道這一個箱入面裝的是甚麼」的時候你不能夠憑空問。你只可以問「這一個箱跟我想像中的箱有多接近」，如是者你必須提供一個期望來做對照，期望就是你想像中的箱。

問的時候，你把你想像中的箱(以下稱為期望) 和 這一個箱(以下稱為箱) 相乘。

量子力學的觀測(對照)方法是 <期望||箱> <箱||期望>

箱在中間，然後你拿期望來左右夾住它。箭咀的方向必須嚴格遵守。

問：箱裝的是不是梨

如是者 |期望> = 1|梨>

先檢查期望是不是100%能夠獲得梨

<期望||期望>

= 1<梨| * 1|梨>

= 1*1 <梨||梨>

沒有問題。我們現在可以處理 <期望||箱> <箱||期望>了。

左邊的<期望||箱>

= 1<梨| * ( 0.707|梨> )
         (+0.707|橙> )

= 0.707<梨||梨> + 0.707<梨||橙>

= 0.707<梨||梨>

右邊的<箱||期望>

= ( 0.707<梨| ) * 1|梨>
  (+0.707<橙| )

= 0.707<梨||梨> + 0.707<橙||梨>

= 0.707<梨||梨>

如是者<期望||箱> <箱||期望>

= 0.707<梨||梨> * 0.707<梨||梨>

= 0.707 * 0.707 * <梨||梨> <梨||梨>

= 0.5 * 1 * 1

= 0.5

結果表示我們有箱的內容物有50%機率吻合我們的期望。換句話就是說有50%機率裏面裝的是梨。

問：箱裝的是不是50%梨 50%橙

現在拿一個跟箱完全一樣的東西來作為期望，跟它對照吧。

左邊的<期望||箱>

= ( 0.707<梨| ) * ( 0.707|梨> )
  (+0.707<橙| )   (+0.707|橙> )

= 0.707*0.707<梨||梨>
+ 0.707*0.707<梨||橙>
+ 0.707*0.707<橙||梨>
+ 0.707*0.707<橙||橙>

= 0.5<梨||梨>
+ 0.5<梨||橙>
+ 0.5<橙||梨>
+ 0.5<橙||橙>

= 0.5<梨||梨> + 0.5<橙||橙>

再來右邊的<箱||期望>，老實說因為箱和期望是同樣的東西，所以結果跟上面的一模一樣，因此也不費時寫步驟出來了。

<期望||箱> <箱||期望>

= ( 0.5<梨||梨> ) * ( 0.5<梨||梨> )
  (+0.5<橙||橙> )   (+0.5<橙||橙> )

= 0.5*0.5<梨||梨><梨||梨>
+ 0.5*0.5<梨||梨><橙||橙>
+ 0.5*0.5<橙||橙><梨||梨>
+ 0.5*0.5<橙||橙><橙||橙>

= 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25

= 1

出來的結果就是1，即100%，即完全一樣。

來量子糾纏吧

上節我們處理的是一個箱。但如何有兩個箱的時候我們應該要怎樣在數學上處理呢？其實很簡單，也不過就是把兩個箱的狀態相乘而已。

假設兩個箱的設定是一樣的

|箱A> = 0.707|梨> + 0.707|橙>
|箱B> = 0.707|梨> + 0.707|橙>

兩個箱的狀態相乘

|箱A> * |箱B>

= ( 0.707|梨> ) * ( 0.707|梨> )
 （+0.707|橙> )   (+0.707|橙> )

= 0.707*0.707|梨>|梨>
+ 0.707*0.707|梨>|橙>
+ 0.707*0.707|橙>|梨>
+ 0.707*0.707|橙>|橙>

= 0.5|梨>|梨>
+ 0.5|梨>|橙>
+ 0.5|橙>|梨>
+ 0.5|橙>|橙>

計算到這裡就是盡頭，不能再簡化了。

這樣出現了一個新的東西，甚麼是 |梨>|梨> ？

一開始我們是|箱A> * |箱B>的。最後出現了|梨>|梨>。這個意思是左邊的為箱A的狀態，右邊的為箱A的狀態，把它們寫在一起表示了綑綁式地思考它們的共同存在。

就是說

箱A為梨的同時箱B亦為梨
箱A=梨 AND 箱B=梨

簡化一下符號

|箱A> * |箱B> = |箱A,箱B>
|梨>|梨> = |梨,梨>

於是

= 0.5|梨,梨>
+ 0.5|梨,橙>
+ 0.5|橙,梨>
+ 0.5|橙,橙>

|箱A,箱B> 是一個獨立的狀態

因為現在我們已經綑綁式地思考它們的共同存在，因此|箱A,箱B>已經是一個自成一家的概念。

拿 |箱A,箱B> 與自己相乘

|箱A,箱B>

= 0.5|梨,梨>
+ 0.5|梨,橙>
+ 0.5|橙,梨>
+ 0.5|橙,橙>

<箱A,箱B||箱A,箱B>

= ( 0.5<梨,梨| ) * ( 0.5|梨,梨> ) 
  (+0.5<梨,橙| )   (+0.5|梨,橙> )    
  (+0.5<橙,梨| )   (+0.5|橙,梨> )      
  (+0.5<橙,橙| )   (+0.5|橙,橙> )

在這裡我們可以跳步驟，因為我們知道除非X=Y，否則<X||Y>必定為0。因此可以省略所有X=/=Y的地方。

= 0.5*0.5<梨,梨||梨,梨>
+ 0.5*0.5<梨,橙||梨,橙>
+ 0.5*0.5<橙,梨||橙,梨>
+ 0.5*0.5<橙,橙||橙,橙>

= 0.25<梨,梨||梨,梨>
+ 0.25<梨,橙||梨,橙>
+ 0.25<橙,梨||橙,梨>
+ 0.25<橙,橙||橙,橙>

結果就是有¼的機率打開兩個箱見到是(梨,梨)的狀態，抑或(梨,橙)的狀態，又或者(橙,梨)的狀態……

將所有可能性的機率相加，0.25+0.25+0.25+0.25 = 1，就是100%。即是說無花無假現在看的|箱A,箱B>是一個獨立的狀態。如果我們把箱A和箱B分折來思考的話，他們所有可能性的機率相加出來會是200%，而不是100%。

我手上有1個梨1個橙，分別放在箱C和箱D。綑綁式地思考，就是 |箱C,箱D> 。

但現在只有1個梨1個橙，一邊是梨的同時另一邊必定是橙，反之亦然。因此

|箱C,箱D> = 0.707|梨, 橙> + 0.707|橙, 梨>

拿 |箱C,箱D> 與自己相乘

<箱C,箱D||箱C,箱D>

= ( 0.707<梨,橙| ) * ( 0.707|梨,橙> )
  (+0.707<橙,梨| )   (+0.707|橙,梨> )

= 0.707*0.707<梨,橙||梨,橙>
+ 0.707*0.707<梨,橙||橙,梨>
+ 0.707*0.707<橙,梨||梨,橙>
+ 0.707*0.707<橙,梨||橙,梨>

除非X=Y，否則<X||Y>必定為0

= 0.707*0.707<梨,橙||梨,橙>
+ 0.707*0.707<橙,梨||橙,梨>

= 0.5<梨,橙||梨,橙>
+ 0.5<橙,梨||橙,梨>

所以就是50%機率會是(梨, 橙)，50%機率會是(橙, 梨)。

如果我只打開箱C會怎樣

這個就是量子糾纏了。你想一想如果只打開箱C看到梨的話，不用問也能知道箱D必定是橙。

這種情況之下，我們用 |期望><期望||箱> 來處理，這是新的方式，不過這裡的期望只包含了箱C的部份。

例如說我們期望打開箱C會見到梨

|期望> = 1|梨,.>

用.來表示漏空，表示沒有東西在那個位置相乘

所以|期望><期望||箱>的左邊

<期望||箱>

= 1<梨,.| * ( 0.707|梨,橙> )
           (+0.707|橙,梨> )

= 0.707<梨,.||梨,橙> + 0.707<梨,.||橙,梨>

只有相乘位置同為梨的才獲保留

= 0.707<梨,.||梨,橙>

同時因為梨被相乘了，即<梨||梨> = 1，因此只剩下|.,橙>

= 0.707|.,橙>

如是者

|期望><期望||箱>

= 1|梨,.> * 0.707|.,橙>

= 1*0.707|梨,.>|.,橙>

= 0.707|梨,橙>

正規化

上面的結果 0.707|梨,橙> 是一個新的狀態。但這個狀態有點問題，就是所有可能性的機率總少於100%。

因為它是 0.707|梨,橙> ,因此只有0.707^2=50%機率你能夠獲得(梨,橙)，沒有其他了。另外的50%機率呢？？？消失了。這50%獲得(梨,橙)的機率就是全部的機率了。因此我們要施行正規化，把它變成為合共100%。

方法很簡單，就是除以所有可能性的機率總和的平方根。

0.707|梨,橙> / sqrt(0.707^2)
= 0.707|梨,橙> / 0.707
= 1|梨,橙>

結果就是 1|梨,橙> 。100%的機率你會獲到(梨,橙)的狀態。

再講一次

本來是
|箱C,箱D> = 0.707|梨, 橙> + 0.707|橙, 梨>

只觀測箱C，得知為梨之後，|箱C,箱D>變成為下面的狀態
|箱C,箱D> = 1|梨,橙>

用文字來說就是|箱C,箱D>只剩下一種可能性

也就是體現了

「如果只打開箱C看到梨的話，不用問也能知道箱D必定是橙」 這句話。

這就是量子糾纏。

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Last update: 2023-06-28
Created: 2023-06-28